L’ensemble des primitives et la constante

Si une fonction admet une primitive , alors elle en possède une infinité de la forme , où .

Exemple d’application (Condition initiale) :

Soit . On cherche la primitive telle que .

1. Les primitives sont de la forme .

2. On impose la condition :

3. La primitive unique est donc .

Forme

Une primitive est .

Exemple : Soit .

En posant , on a . La fonction est de la forme .

Une primitive est .

Forme

Une primitive est .

Exemple : Soit .

Avec , on a . La forme est exactement .

Une primitive est .

Forme

Une primitive est (pour ).

Exemple : Soit .

Avec , on a . La forme est exactement . Comme pour tout réel .

Une primitive est .

1. L’Ère des Pionniers et la Définition Fondamentale

L’histoire des prémisses de l’IA commence dès 1936, lorsque Alan Turing propose un modèle de machine (la machine de Turing) capable de simuler le fonctionnement de n’importe quel algorithme, machine qui est devenue notre ordinateur actuel.

Pendant la Seconde Guerre mondiale, alors qu’Alan Turing travaillait à décrypter les messages nazis chiffrés par la machine Enigma, un article fondamental a été publié en 1943 par Warren McCulloch et Walter Pitts. Ils y proposaient le premier modèle de neurone mathématique, inspiré du neurone biologique. L’intention était claire : s’inspirer du vivant pour créer une machine potentiellement plus puissante que la machine de Turing grâce à un réseau bouclé de neurones artificiels.

Ce n’est qu’en 1956 que le terme “Intelligence Artificielle” est forgé lors de la conférence de Dartmouth dans le New Hampshire, réunissant une vingtaine de spécialistes. L’IA y est définie comme un système capable de résoudre des problèmes normalement réservés à l’intelligence humaine.

2. Les Premières Machines et les Hivers Technologiques

Le passage de la théorie à la pratique survient en 1957 avec Frank Rosenblatt, qui propose le premier modèle de machine capable d’apprendre, fondé sur un réseau de neurones artificiels. Cela a mené au Mark 1 Perceptron, une machine composée de 400 cellules photoélectriques et d’une seule couche de neurones, capable de tâches simples comme la reconnaissance de caractères. Cependant, le Perceptron, limité en puissance de calcul et incapable de traiter des problèmes non linéaires (comme distinguer précisément les spams des non-spams), a rapidement atteint ses limites.

Ces difficultés techniques ont conduit au premier hiver de l’intelligence artificielle à partir de 1974, une période de désintérêt et de blocage.

La reprise a nécessité une rupture technologique, qui est survenue en 1986 avec la réappropriation de l’algorithme de rétropropagation du gradient. Cet algorithme permet d’optimiser l’apprentissage des neurones artificiels en calculant l’erreur en sortie et en la faisant remonter pour modifier les connexions.

Malgré cela, un deuxième hiver a eu lieu en 1987, principalement lié à un manque d’investissement. Les investisseurs ne voyaient pas le potentiel de la technologie. Il manquait alors une promesse ou un « storytelling » pour séduire l’opinion publique.

3. La Consécration et l’Ère du Deep Learning

Pour attirer les investisseurs, il a fallu des événements médiatiques marquants :

• 1997 : La force brute. L’ordinateur Deep Blue d’IBM, un monstre de 2 tonnes capable de calculer 100 millions de coups à la seconde, bat le champion du monde d’échecs, Garry Kasparov, en six manches. Deep Blue utilisait l’algorithme Minimax pour trier les possibilités et maximiser ses profits.

• 2012 : La Naissance du Deep Learning. Lors du concours ImageNet, l’informaticien Alex Krizhevsky remporte la victoire en réduisant de moitié le taux d’erreur de ses concurrents. Ses deux idées révolutionnaires furent d’utiliser des processeurs graphiques (GPU), beaucoup plus puissants que les CPU, et de monter son réseau de neurones en couches successives. Chaque couche décompose l’information en éléments élémentaires. C’est la naissance de l’apprentissage profond (deep learning).
• 2016 : L’intelligence stratégique. L’ordinateur AlphaGo de Google bat le champion du monde de jeu de go, Lee Sedol. Le jeu de go est bien plus complexe que les échecs (300 à 400 coups possibles contre 20 à 30 en moyenne). Cette victoire prouve que l’IA a non seulement gagné en puissance de calcul, mais qu’elle est également capable de faire preuve d’une intelligence stratégique. Le fameux 37e coup de la seconde partie, totalement inattendu, est souvent cité comme l’exemple d’une nouvelle stratégie qui a déstabilisé l’adversaire et les commentateurs.

Depuis 2016, c’est l’époque de la consécration et de la découverte par le grand public. Les progrès dans le traitement du langage naturel (comme l’assistant vocal Siri d’Apple lancé en 2011) ont également amélioré l’interaction homme-machine.

La reconnaissance scientifique s’est manifestée par l’attribution du prix Turing à Yann Le Cun, Geoffrey Hinton et Joshua Bengio pour leurs travaux sur le deep learning. Plus récemment, en 2024, le prix Nobel de physique a été attribué à Geoffrey Hinton et John Hopfield.

1. Logique et théorie des ensembles

Nous savons que la logique est la base de tout ce qui est informatique. Von Neumann a apporté des contributions majeures à la logique mathématique et à la théorie des ensembles. Il a par exemple proposé l’axiome de fondation dans sa thèse de doctorat, qui permet de structurer l’univers des ensembles et d’éviter des paradoxes. Il est également l’auteur de la théorie des classes de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG), une reformulation essentielle de la théorie des ensembles. Ses travaux ont aussi permis de définir la notion de nombre ordinal, connue sous le nom d’ordinal de von Neumann.

Il fut aussi l’un des rares à comprendre immédiatement les implications des théorèmes d’incomplétude de Gödel en 1930, montrant qu’aucun système axiomatique assez puissant ne peut démontrer sa propre cohérence.

2. Mécanique quantique et analyse fonctionnelle

Dans les années 1920-1930, il s’attaque à l’axiomatisation de la mécanique quantique. Il réalise qu’un système quantique peut être modélisé comme un vecteur dans un espace de Hilbert, et que les quantités physiques sont des opérateurs linéaires dans ces espaces. Cette approche mathématique rigoureuse réconcilie les différentes formalisations existantes et est exposée dans son ouvrage classique Les Fondements mathématiques de la mécanique quantique (1932). Il a aussi inventé les algèbres de von Neumann, des structures abstraites utilisées en physique, en logique et en théorie des opérateurs.

3. Économie et théorie des jeux

La théorie des jeux est un domaine qui combine maths, logique et prise de décision, avec des applications en IA et en algorithmique. Von Neumann est l’un des pères fondateurs de la théorie des jeux moderne.

En 1928, il formule le théorème du minimax, qui établit que dans un jeu à somme nulle avec information parfaite, chaque joueur rationnel dispose de stratégies optimales. Il a ensuite étendu cette théorie aux jeux avec asymétrie d’information et à plus de deux joueurs, culminant avec la publication de la célèbre Théorie des jeux et comportements économiques en collaboration avec Oskar Morgenstern en 1944. Cette théorie permet de modéliser les conflits, les négociations, les alliances et même le comportement des missiles.

Le principe de la dissuasion nucléaire trouve ses racines dans le minimax et influencera même le personnage du Docteur Folamour de Stanley Kubrick, qui emprunte beaucoup à von Neumann.

4. Armement atomique et la Seconde Guerre mondiale

Son expertise en mathématiques appliquées (balistique, dynamique des chocs, hydrodynamique) le conduit à collaborer avec l’armée américaine dès les années 1930. En 1943, il rejoint le Projet Manhattan à Los Alamos, le programme ultra-secret visant à concevoir la bombe atomique.

Von Neumann est crucial pour les calculs d’implosion nécessaires à la bombe au plutonium (comme “Fat Man” larguée sur Nagasaki) et pour déterminer la hauteur optimale d’explosion pour maximiser les dégâts. Il assiste même au test “Trinity” en juillet 1945. Son approche était d’une froideur scientifique impressionnante, et il ne semblait pas avoir de doutes moraux, convaincu de la nécessité de vaincre les nazis, puis de contenir les Soviétiques. Son anticommunisme était notoire, et il a même milité pour une frappe préventive contre l’URSS, considérant ce régime comme un danger absolu.

5. Informatique

Le développement des bombes atomiques a nécessité un nombre colossal de calculs, rendant les ordinateurs essentiels. Von Neumann a donné son nom à l’architecture de von Neumann, le modèle utilisé dans la quasi-totalité des ordinateurs modernes. Ce modèle, dont il fut le rapporteur en 1945 avec le First Draft of a Report on the EDVAC, est à la base de la conception de la plupart des machines que nous utilisons aujourd’hui, y compris vos téléphones portables.

Cette architecture repose sur quatre composants principaux :

1. L’Unité Arithmétique et Logique (UAL), qui effectue les opérations de base.
2. L’unité de contrôle, qui séquence les opérations.
3. La mémoire, qui stocke à la fois les données ET les instructions du programme (c’est l’idée révolutionnaire d’un programme enregistré !).
4. Les dispositifs d’entrées-sorties, pour communiquer avec le monde extérieur.

Précisons que la paternité de cette architecture est débattue, avec des contributions d’autres pionniers comme J. Presper Eckert, John William Mauchly, et Alan Turing. Cependant, von Neumann a été le premier à la formaliser de manière aussi complète.

Mais ce n’est pas tout ! Il est aussi, avec Stanislaw Ulam, à l’origine du concept d’automates cellulaires. Incapable de concevoir physiquement des automates auto-reproducteurs, il a travaillé sur le problème de manière purement mathématique, simulant un processus d’auto-reproduction sur une grille discrète. Ces travaux, publiés dans son œuvre posthume Theory of Self-Reproducing Automata, ont inspiré des modèles comme le célèbre Jeu de la vie de Conway, qui simule l’évolution de systèmes complexes à partir de règles simples. C’est une porte ouverte sur la simulation numérique et l’intelligence artificielle !

Enfin, John von Neumann a été le premier à envisager la notion de singularité technologique dans les années 1950, l’idée que le progrès technologique pourrait devenir incontrôlable et irréversible, entraînant des changements imprévisibles pour la civilisation humaine.

Partie A

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

   On traduit les données de l’énoncé.

   Soient les événements : « La personne chute pendant la première séance » et : « La personne chute pendant la deuxième séance ».

   On a . Par conséquent, la probabilité de l’événement contraire est .

   L’énoncé nous donne les probabilités conditionnelles suivantes :

   • La probabilité que la personne chute pendant la deuxième séance sachant qu’elle a chuté pendant la première est .
   • La probabilité que la personne chute pendant la deuxième séance sachant qu’elle n’a pas chuté pendant la première est .

   On peut en déduire les probabilités des événements contraires :

   • .
   • .

   L’arbre pondéré représentant la situation est le suivant :

   

2. Calculer la probabilité et interpréter le résultat.

   AstuceRappel : Probabilité d’une intersection

   Pour deux événements et , la probabilité de leur intersection est donnée par la formule : .

   Cette valeur correspond à la probabilité du chemin passant par puis dans un arbre pondéré.

   On cherche la probabilité de l’événement : « La personne ne chute ni pendant la première séance ni pendant la deuxième séance ».

   D’après la formule des probabilités composées, on a :

   La probabilité que la personne choisie au hasard ne chute lors d’aucune des deux séances est de 0,24.

3. Montrer que .

   AstuceRappel : Formule des probabilités totales

   Si les événements forment une partition de l’univers, alors pour tout événement , on a : .

   Dans le cas d’un événement et de son contraire , la formule se simplifie en : .

   L’événement peut se réaliser de deux manières exclusives : soit la personne a chuté à la première séance et à la deuxième (), soit elle n’a pas chuté à la première mais a chuté à la deuxième ().

   Les événements et formant une partition de l’univers, on peut utiliser la formule des probabilités totales :

   On calcule :

   

   On calcule : On peut maintenant calculer : On a bien montré que .

4. La personne ne chute pas pendant la deuxième séance de cours. Calculer la probabilité qu’elle n’ait pas chuté lors de la première séance.

   On cherche à calculer la probabilité que la personne n’ait pas chuté lors de la première séance, sachant qu’elle n’a pas chuté lors de la deuxième. Il s’agit de la probabilité conditionnelle .

   AstuceRappel : Probabilité conditionnelle

   La probabilité de l’événement sachant l’événement est donnée par :

   La formule est donc : Calculons les deux termes :

   • Le numérateur, en suivant la branche correspondante de l’arbre : .
   • Le dénominateur, en utilisant l’événement contraire de : .

   On obtient alors : En arrondissant au millième, on a : La probabilité que la personne n’ait pas chuté à la première séance sachant qu’elle n’a pas chuté à la deuxième est d’environ 0,364.

5. Étude d’une variable aléatoire .

   1. Montrer que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

   Soit l’événement : « la personne n’a chuté ni lors de la première ni lors de la deuxième séance ». Cet événement correspond à . L’énoncé admet que la probabilité de cet événement est . (Nous l’avions calculé à la question précédente).

   On répète fois de manière identique et indépendante une épreuve de Bernoulli (le choix d’une personne est assimilé à un tirage avec remise).

   • L’épreuve de Bernoulli consiste à choisir une personne et à regarder si l’événement est réalisé (succès) ou non (échec).
   • La probabilité du succès est constante et vaut .
   • Les épreuves sont indépendantes.

   La variable aléatoire , qui compte le nombre de succès (le nombre de personnes n’ayant pas chuté) au cours de ces 100 répétitions, suit donc une loi binomiale de paramètres et .

   On note .

   2. Quelle est la probabilité d’avoir, dans un échantillon de 100 personnes, au moins 20 personnes qui ne chutent ni lors de la première ni lors de la deuxième séance ?

   On cherche à calculer .

   Il est plus simple de passer par l’événement contraire : À l’aide de la calculatrice, on utilise la fonction de répartition de la loi binomiale pour calculer . Avec les paramètres et , on obtient : Donc, Arrondie au millième, la probabilité est d’environ 0,855.

   3. Calculer l’espérance et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
   AstuceRappel : Espérance d’une loi binomiale

   Si une variable aléatoire suit une loi binomiale , son espérance est donnée par : .

   Pour , l’espérance est : Interprétation : L’espérance représente la valeur moyenne que l’on peut espérer obtenir si l’on répète l’expérience (le tirage d’un échantillon de 100 personnes) un grand nombre de fois.

   Ainsi, sur un grand nombre d’échantillons de 100 personnes, on peut s’attendre à ce qu’en moyenne, 24 personnes n’aient chuté au cours d’aucune des deux séances.

Partie B

1. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire . Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

   La variable aléatoire est définie comme la somme des variables aléatoires et , soit .

   AstuceRappel : Linéarité de l’espérance

   Pour deux variables aléatoires et , l’espérance de leur somme est la somme de leurs espérances : Cette propriété est toujours vraie, que les variables soient indépendantes ou non.

   En appliquant cette propriété, on obtient : En utilisant les valeurs données dans l’énoncé : Interprétation : L’espérance de représente le temps d’attente total moyen. En moyenne, une personne choisie au hasard attendra 100 minutes au total sur l’ensemble du week-end pour accéder aux activités sportives.

2. Montrer que la variance de la variable aléatoire est égale à 356.

   AstuceRappel : Variance d’une somme de variables indépendantes

   Si deux variables aléatoires et sont indépendantes, la variance de leur somme est la somme de leurs variances : De plus, la variance est le carré de l’écart-type : .

   L’énoncé précise que les variables aléatoires et sont indépendantes. On peut donc appliquer la formule de la variance d’une somme.

   Nous devons d’abord calculer les variances de et à partir de leurs écarts-types :

   • 
   • 

   On peut maintenant calculer la variance de : On a bien montré que .

3. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que le temps total d’attente soit strictement compris entre 60 et 140 minutes est supérieure à 0,77.

   AstuceRappel : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

   Pour une variable aléatoire d’espérance et de variance , et pour tout réel , l’inégalité s’écrit : La forme complémentaire, souvent plus utile pour borner une probabilité d’être proche de la moyenne, est :

   On cherche à minorer la probabilité . Nous avons calculé et .

   L’intervalle est centré sur l’espérance . On peut le réécrire sous la forme .

   

   

   

   L’événement est donc , ce qui correspond à la forme de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec .

   Appliquons la forme complémentaire de l’inégalité : En remplaçant par les valeurs connues : Calculons la valeur du minorant : On a donc : Puisque , on a bien montré que la probabilité que le temps total d’attente soit strictement compris entre 60 et 140 minutes est supérieure à 0,77.

Partie A

1. Montrer que les droites et sont sécantes au point .

   Pour montrer que les droites et sont sécantes au point , nous devons vérifier deux conditions :

   • Le point appartient à la droite .
   • Le point appartient à la droite .
   • Les droites ne sont pas parallèles.

   Vérifions si appartient à :

   On remplace les coordonnées de dans la représentation paramétrique de et on vérifie s’il existe une valeur unique du paramètre . Le système a une solution unique . Le point appartient donc à la droite .

   Vérifions si appartient à :

   On procède de même avec la représentation paramétrique de . Le système a une solution unique . Le point appartient donc à la droite .

   Vérifions si les droites sont parallèles :

   Un vecteur directeur de est .

   Un vecteur directeur de est .

   Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles (par exemple, mais ). Les vecteurs et ne sont donc pas colinéaires. Par conséquent, les droites et ne sont pas parallèles.

   Puisque les droites et ne sont pas parallèles et ont un point commun , elles sont sécantes en .

2. Étude du plan (ABC).

   1. Montrer que le vecteur est un vecteur normal au plan (ABC).
   AstuceRappel : Vecteur normal à un plan

   Un vecteur est normal à un plan s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. On utilise le produit scalaire pour vérifier l’orthogonalité.

   On considère les points , et .

   On calcule les coordonnées des vecteurs et :

   , soit .

   , soit .

   Les coordonnées de et ne sont pas proportionnelles, les vecteurs ne sont donc pas colinéaires et définissent bien le plan (ABC).

   Calculons les produits scalaires de avec ces deux vecteurs :

   .

   .

   Le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), il est donc bien un vecteur normal à ce plan.

   2. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : .

   Puisque est un vecteur normal au plan (ABC), une équation cartésienne de ce plan est de la forme .

   Pour déterminer la constante , on utilise le fait que le point appartient au plan. Ses coordonnées doivent vérifier l’équation :

   

   

   

   

   Une équation cartésienne du plan (ABC) est donc bien .

   3. Démontrer que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.

   Pour démontrer que les quatre points ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer que le point n’appartient pas au plan (ABC).

   On utilise les coordonnées de et l’équation du plan (ABC).

   

   

   

   Comme , les coordonnées de ne vérifient pas l’équation du plan (ABC). Le point n’appartient donc pas à ce plan.

   Par conséquent, les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.

3. Projection orthogonale.

   1. Démontrer que le point est le projeté orthogonal de sur le plan (ABC).

   Pour que soit le projeté orthogonal de sur le plan (ABC), deux conditions doivent être réunies :

   1. Le point doit appartenir au plan (ABC).
   2. Le vecteur doit être colinéaire au vecteur normal du plan.

   Condition 1 :

   Vérifions si les coordonnées de satisfont l’équation du plan (ABC) :

   .

   Le point appartient bien au plan (ABC).

   Condition 2 :

   Calculons les coordonnées du vecteur avec :

   , soit .

   Le vecteur normal est .

   On observe que , et .

   On a donc , ce qui montre que les vecteurs et sont colinéaires.

   Les deux conditions étant vérifiées, le point est bien le projeté orthogonal de sur le plan (ABC).

   2. En déduire qu’il n’existe aucun point du plan (ABC) tel que .
   AstuceRappel : Distance d’un point à un plan

   La distance d’un point à un plan est la plus courte distance entre et n’importe quel point de . Cette distance minimale est atteinte au projeté orthogonal de sur . On a donc et pour tout point , .

   La distance du point au plan (ABC) est la distance . Calculons cette distance :

   

   .

   Pour tout point appartenant au plan (ABC), la distance est supérieure ou égale à la distance du point au plan, c’est-à-dire .

   On a donc pour tout point du plan (ABC), .

   Il n’existe par conséquent aucun point du plan (ABC) pour lequel la distance serait strictement inférieure à .

Partie B

1. Déterminer les coordonnées du point en fonction de .

   Le point est défini par la relation vectorielle avec , et .

   Calculons les coordonnées du vecteur :

   , soit .

   La relation se traduit en coordonnées :

   

   Les coordonnées de sont donc .

2. Existe-t-il un point sur le segment tel que le triangle soit rectangle en ?

   Le triangle est rectangle en si et seulement si les vecteurs et sont orthogonaux, c’est-à-dire si leur produit scalaire est nul : .

   Exprimons les coordonnées des vecteurs et en fonction de :

   et .

   

   .

   

   .

   Calculons le produit scalaire :

   

   

   

   

   On résout l’équation .

   C’est une équation du second degré de la forme .

   Le discriminant est .

   , l’équation a deux solutions réelles :

   .

   .

   Le point doit appartenir au segment , ce qui impose que le réel appartienne à l’intervalle .

   • Étudions :

     On sait que , donc .

     Ainsi, . Le numérateur est négatif, donc . Cette solution n’est pas dans .

   • Étudions :

     est clairement positif. Vérifions si .

     .

     Comme les deux membres sont positifs, on peut élever au carré :

     .

     Cette inégalité est vraie. On a donc .

   Il existe une unique valeur dans l’intervalle pour laquelle le triangle est rectangle en .

   Par conséquent, oui, il existe un tel point sur le segment .

Partie A : Étude graphique

Dans cette partie, aucune justification n’est attendue.

1. Par lecture graphique, on cherche l’abscisse du point de la courbe ayant pour ordonnée 15. On trouve que le chariot aura parcouru 15 m au bout d’environ 2 secondes.

2. La longueur totale de la zone de freinage correspond à la distance maximale parcourue par le chariot, c’est-à-dire à la limite de la fonction en . Graphiquement, cela correspond à l’ordonnée de l’asymptote horizontale à la courbe .

   On lit que l’équation de l’asymptote est .

   La longueur minimale à prévoir pour la zone de freinage est donc de 22,8 mètres.

3. La valeur correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse . Cette tangente est la droite tracée sur le graphique.

   Pour estimer ce coefficient directeur, on choisit deux points sur la droite . Prenons le point et un autre point, par exemple le point de coordonnées approximatives .

   Le coefficient directeur est : On peut arrondir la valeur à .

   Interprétation : La fonction dérivée représente la vitesse instantanée du chariot, notée . Ainsi, à l’instant secondes, la vitesse du chariot est d’environ 1 m/s.

Partie B : Étude de la vitesse

1. 1. Résolution de l’équation différentielle .

      Cette équation est de la forme avec .

   AstuceRappel : Équation différentielle

   Les solutions de l’équation différentielle , où est un réel, sont les fonctions définies sur par , où est une constante réelle quelconque.

   Les solutions de l’équation sur sont donc les fonctions de la forme , avec .

   2. Vérification d’une solution particulière pour .

      Soit . La fonction est un produit de fonctions dérivables sur , elle est donc dérivable.

      Pour dériver , on utilise la formule avec et . et .

      .

      Vérifions si est solution de .

      

      .

      L’égalité est vérifiée, donc la fonction est bien une solution de l’équation différentielle .

   3. Déduction des solutions de .

      La solution générale de l’équation différentielle est la somme de la solution générale de l’équation homogène associée et d’une solution particulière de .

      Les solutions de sont donc les fonctions de la forme :

      

      où est une constante réelle.

   4. Détermination de la fonction .

      La fonction est une solution de , donc .

      On sait que la vitesse initiale est . On utilise cette condition pour déterminer la constante .

      .

      On a donc .

      La fonction vitesse est donc définie pour tout par :

      

2. 1. Calcul de la dérivée .

      La fonction est un produit de fonctions.

      En posant et , on a et .

      

      

      .

   2. Limite de en .

      On utilise l’expression .

      On sait que , donc par composition .

      Pour le second terme, on peut écrire .

      Par croissance comparée, on sait que .

      En posant , on a .

      Ainsi, .

      Par somme des limites, on obtient :

      

   3. Sens de variation de .

      On étudie le signe de la dérivée sur .

      Pour tout , est strictement positif.

      Le signe de est donc celui de .

      Pour , on a , donc .

      Ainsi, .

      La dérivée est donc strictement négative sur .

      La fonction est strictement décroissante sur .

      On dresse le tableau de variation complet :

      .

      	0
      		-
      	12	↘	0

   4. Résolution de l’équation .

      La fonction est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle .

      De plus, et .

      Le nombre 1 est compris dans l’intervalle image .

      D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones, l’équation admet une solution unique sur l’intervalle .

      À l’aide de la calculatrice, on peut trouver une valeur approchée de .

      En utilisant la fonction table ou un solveur, on trouve :

      

      

      Une valeur approchée de au dixième est donc .

3. Le système mécanique d’arrêt se déclenche lorsque la vitesse est inférieure ou égale à 1 m/s. Comme la fonction est strictement décroissante, la condition est équivalente à , ce qui signifie .

   Le système entre donc en action à partir de l’instant .

   Cela se produit au bout d’environ 4,7 secondes.

Partie C : Calcul de la distance parcourue

1. Démonstration par intégration par parties.

   On doit calculer .

   AstuceRappel : Intégration par parties

   Si et sont deux fonctions dérivables sur un intervalle , alors pour tous : .

   On pose :

   • 
   • 

   Appliquons la formule :

   

   

   

   

   

   

   

   

   Ce qui est bien la formule demandée.

2. Le dispositif d’arrêt se déclenche à l’instant où la vitesse atteint 1 m/s. On cherche donc la distance parcourue à cet instant, soit .

   On utilise la valeur approchée obtenue précédemment.

   On calcule :

   Arrondie au centième, la distance parcourue par le chariot avant le déclenchement du dispositif est de 20,95 mètres.

Partie A - La méthode du masque jetable

1. Pour chiffrer le message LIBRE avec la clé EYQMT, on suit la méthode décrite :

   1. Convertir les lettres en rangs (de 0 à 25).
   2. Additionner les rangs du message et de la clé.
   3. Appliquer le modulo 26 au résultat.
   4. Reconvertir les rangs obtenus en lettres.

Le message chiffré est PGRDX.

2. La fonction indice peut être écrite en utilisant la méthode .index() des listes en Python.

   def indice(element, L):
       """
       Renvoie l'indice de element dans la liste L.
       """
       return L.index(element)

   Autre solution possible, plus simple :

   def indice(element, L):
       """
       Renvoie l'indice de element dans la liste L.
       """
       for i in range(len(L)):
           if L[i] == element:
               return i
       return -1  # Si l'élément n'est pas trouvé, on renvoie -1.

3. La fonction lettres_vers_indices parcourt la chaîne de caractères et utilise la liste globale alphabet pour trouver l’indice de chaque lettre.

   # On suppose que la variable 'alphabet' est définie globalement.
   alphabet = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I', 'J', 'K', 'L', 
               'M', 'N', 'O', 'P', 'Q', 'R', 'S', 'T', 'U', 'V', 'W', 'X', 'Y', 'Z']
   
   def lettres_vers_indices(chaine):
       """
       Renvoie la liste des indices des caractères de la chaîne.
       """
       indices = []
       for caractere in chaine:
           indices.append(indice(caractere, alphabet))
       return indices
   
   # Une version plus concise avec une liste en compréhension :
   # def lettres_vers_indices(chaine):
   #     return [indice(c, alphabet) for c in chaine]

4. Voici le code complété de la fonction chiffrement.

   def chiffrement(msg, cle):
       assert len(cle) >= len(msg), 'impossible'
       indices_msg = lettres_vers_indices(msg)
       indices_cle = lettres_vers_indices(cle)
       n = len(msg)
       indices_msg_chiffre = []
       for k in range(n):
           # Ligne 8 : Addition des indices du message et de la clé
           ind = indices_msg[k] + indices_cle[k]
           # Ligne 9 : Application du modulo 26 si nécessaire
           if ind >= 26:
               # Ligne 10 : L'opération est une soustraction de 26
               ind = ind - 26
           indices_msg_chiffre.append(ind)
       # Ligne 12 : Conversion de la liste d'indices en chaîne de caractères
       msg_chiffre = indices_vers_lettres(indices_msg_chiffre)
       # Ligne 13
       return msg_chiffre

5. Lors de l’appel chiffrement('RESEAU', 'GFTZ'), la condition de l’instruction assert est évaluée. len('RESEAU') vaut 6 et len('GFTZ') vaut 4. La condition len(cle) >= len(msg) (soit 4 >= 6) est fausse.

   L’exécution du programme s’arrête et une erreur de type AssertionError est levée, affichant le message 'impossible'.

6. Pour déchiffrer GMEDH avec la clé FVEIT, on effectue l’opération inverse : la soustraction modulo 26. .

Le message déchiffré est BRAVO.

7. Pour déchiffrer un message, il faut effectuer l’opération mathématique inverse de celle du chiffrement. Le chiffrement est une addition modulo 26. Son inverse est donc une soustraction modulo 26.

   Pour chaque caractère, on soustrait le rang de la lettre de la clé au rang de la lettre du message chiffré, et on prend le résultat modulo 26.

   Mathématiquement : si , alors .

8. Pour obtenir la fonction dechiffrement, on adapte la fonction chiffrement en remplaçant l’addition par une soustraction.

   def dechiffrement(msg_chiffre, cle):
       assert len(cle) >= len(msg_chiffre), 'impossible'
       indices_msg = lettres_vers_indices(msg_chiffre)
       indices_cle = lettres_vers_indices(cle)
       n = len(msg_chiffre)
       # Ligne 6 adaptée
       indices_msg_dechiffre = []
       for k in range(n):
           # Ligne 8 adaptée : Soustraction des indices
           ind = indices_msg[k] - indices_cle[k]
           # Ligne 9 adaptée : Gestion des résultats négatifs
           if ind < 0:
               # Ligne 10 adaptée : Ajout de 26
               ind = ind + 26
           indices_msg_dechiffre.append(ind)
       # Ligne 12 adaptée
       msg_dechiffre = indices_vers_lettres(indices_msg_dechiffre)
       # Ligne 13 adaptée
       return msg_dechiffre

Partie B - Sécurisation des communications

9. La différence fondamentale entre un algorithme de chiffrement symétrique et asymétrique réside dans la gestion des clés :

   • Chiffrement symétrique : utilise une seule et même clé secrète pour chiffrer et déchiffrer le message. Cette clé doit être partagée de manière sécurisée entre l’émetteur et le destinataire avant la communication.
   • Chiffrement asymétrique : utilise une paire de clés pour chaque utilisateur : une clé publique, que l’on peut distribuer librement, et une clé privée, qui doit rester secrète. Ce qui est chiffré avec la clé publique ne peut être déchiffré qu’avec la clé privée correspondante.

10. Alice chiffre son message avec la clé publique de Bob. Pour déchiffrer le message reçu, Bob utilise sa clé privée, qui est la seule capable d’inverser l’opération de chiffrement effectuée par sa clé publique.

11. Dans le scénario décrit, n’importe qui (une tierce personne, Eve par exemple) peut obtenir la clé publique de Bob. Eve peut alors chiffrer un message avec cette clé et l’envoyer à Bob en se faisant passer pour Alice. Bob pourra déchiffrer le message, mais n’aura aucun moyen de vérifier que l’expéditeur est bien Alice. Ce protocole simple ne garantit pas l’authentification de l’émetteur.

12. HTTPS (HyperText Transfer Protocol Secure) est la version sécurisée du protocole HTTP. Il combine HTTP avec un protocole de sécurité comme TLS (Transport Layer Security). HTTPS assure trois garanties de sécurité principales :

    • Confidentialité : Les données échangées sont chiffrées, les rendant illisibles pour un attaquant qui les intercepterait.
    • Intégrité : Les données ne peuvent pas être modifiées durant leur transit sans que la modification soit détectée.
    • Authentification : Il permet de vérifier l’identité du serveur web auquel on se connecte, grâce à un système de certificats numériques.

13. On utilise le protocole HTTPS (qui est un système hybride) plutôt qu’un chiffrement purement asymétrique pour des raisons de performance. Le chiffrement asymétrique est beaucoup plus lent et gourmand en ressources de calcul que le chiffrement symétrique. Il est donc mal adapté pour chiffrer de grandes quantités de données. HTTPS utilise le chiffrement asymétrique uniquement au début de la connexion pour authentifier le serveur et négocier une clé de session secrète. Ensuite, toute la communication est chiffrée avec un algorithme symétrique, beaucoup plus rapide, utilisant cette clé de session.

Partie C - Réseaux

14. L’affichage 100% packet loss indique que la machine de Marc a envoyé 4 paquets ping à l’adresse IP 192.168.100.115, mais n’a reçu aucune réponse. L’erreur de Marc est une faute de frappe dans l’adresse IP du poste de Bob. L’adresse correcte est 192.168.110.115. Marc a tapé 100 au lieu de 110 dans le troisième octet. Il a donc tenté de contacter une machine sur un autre réseau (192.168.100.0/24), qui est probablement inaccessible depuis son poste.

15. Pour obtenir la représentation décimale du masque 11111111.11111111.11111111.11100000, on convertit chaque octet binaire en décimal :

    • 11111111 en binaire correspond à en décimal.
    • 11100000 en binaire correspond à en décimal.

    Le masque de sous-réseau en décimal est 255.255.255.224.

16. Le masque 255.255.255.224 a 27 bits à 1 pour la partie réseau (). La partie hôte est donc sur les bits restants. Le nombre total d’adresses IPv4 sur ce sous-réseau est .

    (Note : parmi ces 32 adresses, 2 sont réservées : l’adresse du sous-réseau lui-même et l’adresse de diffusion. Il y a donc adresses attribuables à des hôtes).

17. Pour convertir le nombre 134 en binaire, on utilise la méthode des divisions successives par 2 ou par décomposition en puissances de 2. .

    La représentation binaire de 134 sur un octet est 10000110.

18. Pour savoir quelle commande a fonctionné, il faut déterminer si les machines cibles sont dans le même sous-réseau que Zoé. Deux machines peuvent communiquer directement si elles sont sur le même sous-réseau.

    • Masque : 255.255.255.224 (11100000 pour le dernier octet).

    • IP de Zoé : 192.168.110.134 (10000110 pour le dernier octet).

      • Adresse du sous-réseau de Zoé : 134 ET 224 -> 10000110 ET 11100000 = 10000000 (soit 128). Le sous-réseau est 192.168.110.128.

    • Commande n°1 : ping 192.168.110.115 (Bob)

      • Le dernier octet de l’IP de Bob est 115 (01110011).
      • Adresse du sous-réseau de Bob : 115 ET 224 -> 01110011 ET 11100000 = 01100000 (soit 96). Le sous-réseau est 192.168.110.96.

    • Commande n°2 : ping 192.168.110.153 (Marc)

      • Le dernier octet de l’IP de Marc est 153 (10011001).
      • Adresse du sous-réseau de Marc : 153 ET 224 -> 10011001 ET 11100000 = 10000000 (soit 128). Le sous-réseau est 192.168.110.128.

    Conclusion : Zoé et Marc sont sur le même sous-réseau (192.168.110.128), alors que Bob est sur un sous-réseau différent (192.168.110.96). La communication directe est possible entre Zoé et Marc.

    C’est donc la commande n°2 qui a produit l’affichage indiquant une réussite de la communication.

Question 1

Expliquer pourquoi l’attribut num_ser ne peut pas être une clé primaire de la relation inventaire.

L’attribut num_ser ne peut pas être une clé primaire car ses valeurs ne sont pas uniques dans la table. On observe que la valeur 81757532 apparaît deux fois dans la colonne num_ser : pour la guitare avec id=4 et pour celle avec id=8. Une clé primaire ne peut pas contenir de doublons.

Question 2

Donner, sous forme de tableau, le résultat de la requête suivante appliquée à l’extrait de table précédent.

SELECT marque, modele
FROM inventaire
WHERE annee = 1956

La requête sélectionne les attributs marque et modele pour tous les enregistrements où l’année est 1956. En examinant la table inventaire, deux lignes correspondent à ce critère : celle avec id=1 et celle avec id=7.

Le résultat est donc :

Question 3

Écrire une requête SQL permettant d’obtenir toutes les années du modèle Les Paul Standard dans la collection.

Pour sélectionner les années, on utilise SELECT annee. Pour ne garder que celles correspondant au modèle ‘Les Paul Standard’, on utilise une clause WHERE. Il est judicieux d’utiliser DISTINCT pour éviter d’afficher des doublons si plusieurs guitares de ce modèle ont été fabriquées la même année.

SELECT DISTINCT annee
FROM inventaire
WHERE modele = 'Les Paul Standard';

Question 4

Écrire une requête SQL permettant d’obtenir tous les modèles de guitares de la marque Gibson par ordre croissant de l’année dans la collection.

Il faut filtrer les guitares de marque ‘Gibson’ avec WHERE et trier le résultat par année croissante avec ORDER BY.

SELECT modele
FROM inventaire
WHERE marque = 'Gibson'
ORDER BY annee ASC;

Note : ASC (pour ascendant) est l’ordre de tri par défaut et peut être omis.

Question 5

Maud a fait une erreur de saisie pour la guitare d’identifiant id=1. L’année est en réalité 1957. Écrire une requête SQL permettant de corriger cette erreur de saisie.

La modification d’un enregistrement existant se fait avec la commande UPDATE. On spécifie la table à modifier, les colonnes et leurs nouvelles valeurs avec SET, et l’enregistrement à modifier avec WHERE.

UPDATE inventaire
SET annee = 1957
WHERE id = 1;

Question 6

Expliquer brièvement, en justifiant, dans quel ordre les trois tables doivent être créées.

L’ordre de création des tables est contraint par les clés étrangères.

• La table modele contient une clé étrangère id_marque qui référence la clé primaire de la table marque. La table marque doit donc être créée avant la table modele.
• La table guitare contient une clé étrangère id_modele qui référence la clé primaire de la table modele. La table modele doit donc être créée avant la table guitare.

L’ordre de création est donc : 1. marque 2. modele 3. guitare

Question 7

Écrire une requête SQL permettant d’obtenir le numéro de série et l’année de toutes les guitares Les Paul Standard de la collection.

Les informations num_ser et annee sont dans la table guitare, mais le nom du modèle ‘Les Paul Standard’ est dans la table modele. Il faut donc effectuer une jointure entre ces deux tables.

SELECT G.num_ser, G.annee
FROM guitare AS G
JOIN modele AS M ON G.id_modele = M.id
WHERE M.nom = 'Les Paul Standard';

Note : l’utilisation d’alias (AS G, AS M) rend la requête plus lisible.

Question 8

Écrire une requête SQL permettant de retirer de la collection la guitare d’identifiant id=3.

La suppression d’un enregistrement se fait avec la commande DELETE FROM. Il est essentiel de spécifier la ligne à supprimer avec une clause WHERE.

DELETE FROM guitare
WHERE id = 3;

Question 9

Écrire l’ensemble des requêtes SQL permettant d’ajouter la guitare suivante :

• marque : BC Rich
• modèle : Mockingbird
• année : 1992
• numéro de série : 92R
• prix : 5000.

L’ajout doit se faire en respectant les contraintes de clés étrangères. On doit d’abord insérer la nouvelle marque, puis le nouveau modèle (en le liant à la marque), et enfin la nouvelle guitare (en la liant au modèle). Les identifiants à utiliser sont fournis.

1. Insertion de la marque :

   INSERT INTO marque (id, nom) VALUES (3, 'BC Rich');

2. Insertion du modèle :

   INSERT INTO modele (id, nom, id_marque) VALUES (5, 'Mockingbird', 3);

3. Insertion de la guitare :

   INSERT INTO guitare (id, id_modele, annee, num_ser, prix) VALUES (9, 5, 1992, '92R', 5000);

Question 10

Écrire une requête SQL permettant de calculer la valeur totale des modèles Stratocaster de la collection de Slash.

Il faut utiliser la fonction d’agrégation SUM() sur la colonne prix de la table guitare. Comme pour la question 7, une jointure avec la table modele est nécessaire pour filtrer sur le nom du modèle ‘Stratocaster’.

SELECT SUM(G.prix)
FROM guitare AS G
JOIN modele AS M ON G.id_modele = M.id
WHERE M.nom = 'Stratocaster';

Question 1

Donner le code Python qui permet d’instancier deux variables tache1 et tache2 représentant les tâches.

Le constructeur de la classe Tache est __init__(self, numero, nom, duree). Il suffit de l’appeler avec les bonnes valeurs pour chaque tâche.

tache1 = Tache(1, "Répondre aux e-mails", 45)
tache2 = Tache(2, "Ranger ma chambre", 60)

Question 2

Recopier et compléter le code de la méthode avancer de la classe Tache.

La méthode avancer doit diminuer l’attribut duree_restante de la valeur n passée en paramètre.

def avancer(self, n):
    self.duree_restante -= n

Question 3

Recopier et compléter le code de la méthode est_terminee de la classe Tache.

Une tâche est terminée si sa durée restante est négative ou nulle. La méthode doit donc renvoyer le résultat de la comparaison self.duree_restante <= 0.

def est_terminee(self):
    return self.duree_restante <= 0

Question 4

Représenter l’état de la file f lorsqu’on lui ajoute successivement la tâche numéro 6 avec la priorité 2, puis la tâche numéro 7 avec la priorité 4.

La file initiale est : [début] (<t3>, 4) (<t1>, 3) (<t2>, 3) (<t4>, 1) (<t5>, 1) [fin]

1. Ajout de (<t6>, 2) : La priorité 2 est inférieure à 3 et supérieure à 1. L’élément s’insère donc après tous les éléments de priorité 3 et avant tous ceux de priorité 1. État intermédiaire : [début] (<t3>, 4) (<t1>, 3) (<t2>, 3) (<t6>, 2) (<t4>, 1) (<t5>, 1) [fin]

2. Ajout de (<t7>, 4) : La priorité 4 est la même que celle de <t3>. Selon la condition 2, les éléments de même priorité sont rangés par ordre d’insertion. <t7> est inséré après <t3>, qui était déjà dans la file. État final : [début] (<t3>, 4) (<t7>, 4) (<t1>, 3) (<t2>, 3) (<t6>, 2) (<t4>, 1) (<t5>, 1) [fin]

Question 5

En repartant de la file f suivante : [début](<t3>, 4)(<t1>, 3)(<t2>, 3)(<t4>, 1)(<t5>, 1)[fin] donner la valeur de f.defiler()[0] et représenter le contenu de la file f après l’exécution de cette instruction.

• f.defiler() retire et renvoie le premier élément de la file, qui est le tuple (<t3>, 4).
• L’opérateur [0] sélectionne le premier élément de ce tuple, soit <t3>.
• Après cette opération, la file ne contient plus cet élément.

Valeur renvoyée : <t3>

Contenu de la file f après : [début] (<t1>, 3) (<t2>, 3) (<t4>, 1) (<t5>, 1) [fin]

Question 6

En repartant de la file f suivante : [début](<t3>, 4)(<t1>, 3)(<t2>, 3)(<t4>, 1)(<t5>, 1)[fin] donner la valeur de f.examiner()[1] et représenter le contenu de la file f après l’exécution de cette instruction.

• f.examiner() renvoie le premier élément de la file sans le retirer. Cet élément est le tuple (<t3>, 4).
• L’opérateur [1] sélectionne le deuxième élément de ce tuple, soit 4.
• La file reste inchangée.

Valeur renvoyée : 4

Contenu de la file f après : [début] (<t3>, 4) (<t1>, 3) (<t2>, 3) (<t4>, 1) (<t5>, 1) [fin]

Question 7

Recopier et compléter le code de la fonction ajouter_file_prio.

L’algorithme consiste à transférer les éléments de f vers f_aux jusqu’à trouver le bon emplacement pour (t, p), insérer (t, p), transférer le reste de f, puis tout retransférer dans f.

def ajouter_file_prio(f, t, p):
    f_aux = File()
    # 1. Défiler les éléments de f de priorité >= p vers f_aux
    while not f.est_vide() and f.examiner()[1] >= p:
        f_aux.enfiler(f.defiler())
    
    # 2. Enfiler le nouvel élément dans f_aux
    f_aux.enfiler((t, p))

    # 3. Défiler le reste de f vers f_aux
    while not f.est_vide():
        f_aux.enfiler(f.defiler())

    # 4. Reconstruire f en défilant f_aux
    while not f_aux.est_vide():
        f.enfiler(f_aux.defiler())

Question 8

Donner le coût d’exécution temporel dans le pire des cas de la fonction ajouter_file_prio, en fonction du nombre m d’éléments de la file f.

Dans le pire des cas (par exemple, lors de l’insertion d’un élément de la plus faible priorité), la fonction parcourt la totalité de la file f plusieurs fois :

1. La première boucle while parcourt les m éléments de f.
2. La deuxième boucle while (qui défile le reste de f) ne s’exécute pas.
3. La troisième boucle while parcourt les m + 1 éléments de f_aux pour les remettre dans f.

Chaque élément est donc défilé et enfilé un nombre constant de fois. Le nombre total d’opérations (enfiler, defiler) est proportionnel à m. Le coût d’exécution est donc linéaire par rapport au nombre d’éléments m dans la file.

La complexité temporelle est en .

Question 9

Indiquer pour chaque bloc de 25 minutes la tâche qui avance, en suivant le modèle proposé, jusqu’à la fin de toutes les tâches.

Le point important à ne pas oublier est le fonctionnement de la file de priorité et de l’ordonnanceur :

1. Priorité absolue : L’ordonnanceur choisit toujours la tâche qui est en tête de file, c’est-à-dire celle qui a la plus haute priorité. Tant qu’il reste des tâches de priorité 4, aucune tâche de priorité 3 ne sera exécutée.
2. Règle de ré-insertion (FIFO pour les priorités égales) : Lorsqu’une tâche non terminée est ré-insérée dans la file, elle est placée après toutes les autres tâches ayant la même priorité. C’est la condition 2 de l’énoncé.

Cela signifie que les tâches de même priorité seront traitées en mode “tourniquet” (Round-Robin), mais seulement une fois que toutes les tâches de priorité supérieure sont terminées.

Question 10

Écrire le code d’une fonction planning qui prend en paramètre une file de priorité f et qui renvoie une liste de tâches, dans l’ordre où elles vont être effectuées.

Cette fonction doit implémenter l’algorithme Pomodoro décrit précédemment.

def planning(f):
    """
    Simule l'ordonnancement Pomodoro et renvoie la liste des tâches
    traitées à chaque session.
    """
    plan = []
    while not f.est_vide():
        # 1. Défiler la tâche la plus prioritaire
        element = f.defiler()
        tache = element[0]
        priorite = element[1]

        # 2. L'ajouter au planning de la session
        plan.append(tache)

        # 3. Avancer la tâche
        tache.avancer(25)

        # 4. Si elle n'est pas terminée, la ré-insérer dans la file
        if not tache.est_terminee():
            ajouter_file_prio(f, tache, priorite)
            
    return plan 

Partie A : Réseau local

Partie B : Routage RIP

Partie C : Routage OSPF

Question 8

Recopier et compléter la dernière colonne du tableau ci-dessous.

AstuceRappel : Protocole OSPF (Open Shortest Path First)

Le protocole OSPF utilise un coût comme métrique, qui est généralement inversement proportionnel au débit de la liaison. Le chemin avec le coût total le plus faible est choisi. La formule donnée est : .

• Fast Ethernet (100 Mbit/s = bit/s) :
• Fibre optique (1 Gbit/s = bit/s) :

Tableau complété :

Type de connexion	Débit en bit.s⁻¹	coût
Ethernet	10 Mbit.s⁻¹ = bit.s⁻¹	100
Fast Ethernet	100 Mbit.s⁻¹ = bit.s⁻¹	10
Fibre optique	1 Gbit.s⁻¹ = bit.s⁻¹	1

Partie D : Arbres binaires de recherche

def precede(ip_1, ip_2):
    for i in range(35):
        if ip_1[i] < ip_2[i]:
            return True   # ligne 4
        elif ip_1[i] > ip_2[i]:
            return False  # ligne 6
    return False          # ligne 7 (si les IPs sont égales)

def est_vide(self):
    return self.adresse_ip == '' # ligne 14

def modifie(self, adresse_ip, interface, passerelle, cout):
    
    # On mémorise si le nœud était vide avant la modification.
    etait_vide = self.est_vide()

    # Opérations de mise à jour des données, qui ont lieu dans tous les cas.
    self.adresse_ip = adresse_ip
    self.interface = interface
    self.passerelle = passerelle
    self.cout = cout
    
    # Opération de création des enfants, qui n'a lieu QUE si le nœud
    # était initialement vide.
    if etait_vide:
        self.gauche = Abr('', '', '', 0)
        self.droite = Abr('', '', '', 0)

def rechercher(self, adresse_ip):
    if self.est_vide() or adresse_ip == self.adresse_ip:
        return self
    elif precede(adresse_ip, self.adresse_ip): # ligne 35
        return self.gauche.rechercher(adresse_ip)
    else:
        return self.droite.rechercher(adresse_ip)

1. Arbre de probabilités

Pour compléter l’arbre, nous devons d’abord déterminer la probabilité de l’événement O. Les événements A, B, AB et O forment une partition de l’univers, c’est-à-dire que ce sont des événements incompatibles deux à deux et dont la réunion est l’univers. La somme de leurs probabilités est donc égale à 1.

On en déduit :

Ensuite, pour chaque branche, la somme des probabilités des événements conditionnels doit valoir 1. Par exemple, .

L’énoncé nous donne :

• , donc .
• , donc .
• , donc .

La probabilité sera calculée à la question 3.

L’arbre complété est le suivant :

2. Calcul de et interprétation

En appliquant cette formule, on a :

Interprétation : La probabilité que la personne choisie au hasard dans la population française soit du groupe sanguin B et de rhésus positif est de 0,084 (soit 8,4 %).

3. Calcul de

Ici, les événements A, B, AB et O forment une partition de l’univers. On peut donc appliquer la formule des probabilités totales pour calculer :

L’énoncé nous donne . On peut donc isoler l’inconnue : On a bien montré que .

4. Probabilité d’être donneur universel

Un “donneur universel” est un individu du groupe O et de rhésus négatif. On cherche donc à calculer la probabilité de l’événement . En utilisant la règle de l’intersection : Nous savons que . De plus, comme , on en déduit : Donc : La probabilité qu’un individu choisi au hasard soit donneur universel est bien de 0,0714.

5. Étude d’un échantillon de 100 personnes

a. Justification de la loi binomiale

Considérons l’épreuve de Bernoulli suivante : “on choisit une personne au hasard dans la population et on regarde si elle est donneur universel”.

• Le succès est l’événement “la personne est un donneur universel”. La probabilité de succès est (calculée en 4.).
• L’échec est l’événement contraire, de probabilité .

On répète cette épreuve fois. L’énoncé précise que “la population est suffisamment grande pour assimiler ce choix à un tirage avec remise”. Cette condition garantit que les tirages sont identiques et indépendants.

La variable aléatoire , qui compte le nombre de donneurs universels (nombre de succès) dans l’échantillon de 100 personnes, suit donc une loi binomiale de paramètres et . On note .

b. Probabilité d’avoir au plus 7 donneurs universels

On cherche à calculer . À l’aide de la fonction de répartition de la loi binomiale de la calculatrice (binomFRep ou BinomialCD), on obtient : Arrondie à près, la probabilité est de 0,574.

c. Espérance et variance de X

Appliquons ces formules :

• Espérance :
• Variance : Arrondie à près, la variance est bien .

6. Étude sur N villes

a. Représentation de la variable aléatoire

est le nombre de donneurs universels dans un échantillon de 100 personnes de la ville . La variable aléatoire est la moyenne arithmétique des nombres de donneurs universels observés dans les échantillons des villes. Elle représente donc le nombre moyen de donneurs universels par échantillon de 100 personnes sur l’ensemble des collectes.

b. Espérance de

Par linéarité de l’espérance, on a : On nous dit que pour tout , . Donc : L’espérance de la moyenne est égale à l’espérance de la variable de départ.

c. Variance de

Les variables sont supposées indépendantes. Pour la variance, on a et la variance d’une somme de variables indépendantes est la somme de leurs variances. On nous dit que pour tout , . Donc :

d. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

On cherche la plus petite valeur de telle que . L’espérance de est . Réécrivons l’inégalité autour de cette espérance : Ceci est équivalent à : On peut donc appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec et . On sait que . Donc : Pour que la condition soit vérifiée, il suffit que la borne inférieure que nous avons trouvée soit supérieure ou égale à 0,95. On cherche donc tel que : Comme est un entier positif, on peut multiplier les deux côtés par sans changer le sens de l’inégalité : Puisque doit être un entier, la plus petite valeur de qui satisfait cette condition est .

La plus petite valeur de est 6766.

Partie A : Lectures graphiques

On répond aux questions en s’appuyant sur les informations visuelles fournies par le graphique.

1. Déterminer le nombre dérivé .

Le nombre est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point . Pour calculer ce coefficient directeur, on utilise les coordonnées de deux points par lesquels passe la droite . Le graphique nous indique que passe par les points et . Le coefficient directeur est donc :

Ainsi, .

2. Combien de solutions l’équation admet-elle dans l’intervalle ?

L’équation a pour solutions les abscisses des points de la courbe où la tangente est horizontale.

En observant le graphique sur l’intervalle , on voit que la fonction est d’abord croissante, puis décroissante. Elle admet donc un maximum local entre et . En ce point, la tangente à la courbe est horizontale.

De plus, la fonction est à nouveau croissante ensuite. Elle admet donc un minimum local entre et . En ce point, la tangente est également horizontale.

L’équation admet donc deux solutions dans l’intervalle .

3. Quel est le signe de ?

AstuceRappel de cours : Lien entre signe de et convexité

• Si , la fonction est convexe en .
• Si , la fonction est concave en .
• Si s’annule en en changeant de signe, il y a un point d’inflexion en .

Sur le graphique, pour , on observe que la courbe est concave.

Donc, le signe de la dérivée seconde est négatif.

Partie B : Étude de la fonction f

On admet que .

1. Résoudre l’équation et en déduire que ne coupe pas l’axe des abscisses.

Pour résoudre l’équation du second degré , on calcule le discriminant .

Comme , l’équation n’a pas de solution réelle. Le polynôme est donc de signe constant. Son signe est celui de son coefficient dominant , qui est positif.

Ainsi, pour tout réel , .

Pour déduire que ne coupe pas l’axe des abscisses, on étudie le signe de .

La fonction est définie sur , donc .

Le second facteur, , peut s’écrire . Comme nous avons montré que pour tout , on a pour tout .

est le produit de deux termes strictement positifs, donc pour tout .

Puisque ne s’annule jamais et est toujours positive, la courbe ne coupe pas l’axe des abscisses.

2. Déterminer la limite de en .

On cherche .

On a :

• 

• Pour le second facteur, on pose . Quand , .

  .

  La limite d’un polynôme en l’infini est celle de son terme de plus haut degré.

  .

Par produit des limites, on obtient :

3. On admet que .

a. Montrer que .

Pour trouver , on dérive .

En utilisant la dérivée de qui est et la dérivée de qui est :

Ce qui est bien l’expression attendue.

b. Étudier la convexité de et préciser l’abscisse du point d’inflexion.

On étudie le signe de sur .

Sur cet intervalle, le dénominateur est toujours positif. Le signe de est donc le même que celui de son numérateur .

On peut dresser un tableau de signes :

Signe de
Convexité de		Concave	Point d’inflexion	Convexe

• La fonction est concave sur .
• La fonction est convexe sur .
• La dérivée seconde s’annule et change de signe en . La courbe admet donc un point d’inflexion d’abscisse .

c. Montrer que est au-dessus de sur .

Une propriété des fonctions convexes est que leur courbe représentative est située au-dessus de chacune de leurs tangentes.

D’après la question précédente, la fonction est convexe sur l’intervalle .

On a , donc .

L’intervalle est donc inclus dans l’intervalle de convexité .

Puisque est convexe sur , sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle. La droite est la tangente au point d’abscisse , et .

Par conséquent, la courbe est au-dessus de la tangente sur l’intervalle .

Partie C : Calcul d’aire

1. Justifier que la tangente a pour équation réduite .

L’équation de la tangente à au point d’abscisse est .

Ici, le point est , donc .

• Calculons : .
• Calculons : .

L’équation de la tangente est donc :

Ceci justifie l’équation donnée.

2. Montrer que .

On pose :

Les fonctions et sont bien dérivables sur . En appliquant la formule :

3. En déduire la valeur exacte de en unité d’aire.

L’aire est celle du domaine délimité par , , et les droites et .

Comme est au-dessus de sur , l’aire est donnée par l’intégrale :

Par linéarité de l’intégrale :

On utilise les résultats admis et calculés :

• (admis)
• (calculé en C.2)
• 

On remplace :

Partie A : Étude d’un modèle discret

On étudie la suite définie par et, pour tout entier naturel , .

1. Calculer la superficie au premier juillet 2025.

Le premier juillet 2024 correspond à l’année de départ, soit , avec ha. Le premier juillet 2025 correspond à . On calcule donc : D’après ce modèle, la superficie recouverte au premier juillet 2025 sera de 1,28 hectare.

2. On note la fonction définie sur par .

a. Démontrer que pour tout entier naturel , .

Nous allons procéder par récurrence. Soit la propriété : “”.

Initialisation (pour n=0) : - - On a bien , c’est-à-dire . La propriété est vraie.

Hérédité : Supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel . C’est notre hypothèse de récurrence : . Nous voulons montrer que est vraie, c’est-à-dire : .

D’après l’hypothèse de récurrence, nous avons . On nous admet que la fonction est croissante sur l’intervalle . Puisque les termes et appartiennent à cet intervalle, on peut appliquer la fonction à l’inégalité en conservant l’ordre : On a . L’inégalité devient : Calculons les valeurs des bornes : - . - . L’inégalité devient donc : Puisque et , on peut en conclure que : La propriété est donc vraie.

Conclusion : Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel .

b. En déduire que la suite converge.

D’après la question précédente, nous avons montré que pour tout . La suite est donc croissante. Nous avons également montré que pour tout . La suite est donc majorée par 20. Étant croissante et majorée, la suite est convergente. On note sa limite.

c. Justifier que .

La suite est définie par la relation de récurrence , où est une fonction continue sur . Comme la suite converge vers une limite , cette limite doit être un point fixe de la fonction , c’est-à-dire qu’elle doit vérifier l’équation . Résolvons l’équation : On factorise par : Cette équation a deux solutions :

La suite est croissante et son premier terme est . Tous les termes de la suite sont donc supérieurs ou égaux à 1. Sa limite ne peut donc pas être 0. On en conclut que la limite de la suite est .

3. Dépassement d’un seuil.

a. Justifier que la surface recouverte dépassera les 14 hectares. La suite est croissante et converge vers 15. Par définition de la convergence, les termes de la suite se rapprochent de 15. Comme la suite est croissante, les termes se rapprochent de 15 par valeurs inférieures. Puisque , il existera nécessairement un rang à partir duquel tous les termes seront dans l’intervalle . La superficie recouverte dépassera donc un jour les 14 hectares.

b. Recopier et compléter l’algorithme. L’algorithme doit calculer les termes successifs de la suite jusqu’à ce que la valeur de u dépasse (ou soit égale à) 14. À chaque étape, il faut incrémenter le compteur d’années n.

def seuil():
    n = 0
    u = 1
    while u <= 14:
        n = n + 1
        u = -0.02 * u * u + 1.3 * u
    return n

Partie B : Étude d’un modèle continu

On étudie la fonction solution de l’équation différentielle , avec la condition initiale .

1. Montrer que est solution de .

La fonction ne s’annule pas, donc la fonction est bien définie et dérivable. Calculons la dérivée : On sait que est solution de , donc . On substitue cette expression dans celle de : On sépare la fraction en deux : Puisque , on obtient : La fonction est donc bien solution de l’équation différentielle .

2. Donner les solutions de l’équation différentielle .

L’équation est . C’est une équation de la forme avec et . Les solutions sont donc les fonctions définies par : où est une constante réelle.

3. En déduire l’expression de . On utilise la condition initiale pour déterminer la constante . On sait que . En utilisant l’expression de trouvée à la question précédente : On a donc l’équation , ce qui donne . L’expression de est : Maintenant, on trouve en calculant l’inverse de : En multipliant le numérateur et le dénominateur par 15 pour simplifier :

4. Déterminer la limite de en . On cherche . On a . Par composition, . Donc, la limite du dénominateur est : Par quotient, la limite de est : Le modèle continu prédit que la superficie recouverte tendra vers 15 hectares à long terme, ce qui est cohérent avec le modèle discret.

5. Résoudre l’inéquation et interpréter. On résout dans : Comme le dénominateur est strictement positif, on peut multiplier les deux membres par ce terme sans changer le sens de l’inégalité : On applique la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante, des deux côtés : On divise par , qui est un nombre négatif, ce qui inverse le sens de l’inégalité : Calculons une valeur approchée : Interprétation : La superficie recouverte par la posidonie dépassera 14 hectares après environ 17,6 ans à compter du premier juillet 2024. Cela se produira donc au cours de l’année 2042 ().

Remarque : L’algorithme python de la partie A retourne : les résultats sont cohérents.

Étape 1 : On choisit notre pivot

On va utiliser la première équation comme pivot pour éliminer dans les autres équations.

Étape 2 : On élimine dans la deuxième et la troisième équation

• Pour la deuxième équation, on ajoute 3/2 fois la première équation
• Pour la troisième équation, on ajoute 1 fois la première équation

On obtient le système équivalent :

Étape 3 : On élimine dans la troisième équation

Maintenant, on utilise la deuxième équation comme pivot pour éliminer dans la troisième équation. On multiplie la deuxième équation par et on l’ajoute à la troisième équation :

Étape 4 : On résout !

Et voilà, on a notre système triangulaire ! C’est comme avoir dénoué tous nos câbles. Maintenant, on peut facilement trouver nos inconnues :

1. De la dernière équation :
2. De la deuxième équation : , donc
3. De la première équation : , donc

Notre solution est donc .

Représentation du système en Python

En Python, nous allons utiliser un tableau NumPy pour représenter notre système d’équations. Pourquoi NumPy ? Parce que c’est super efficace pour les calculs numériques et ça nous facilite la vie pour manipuler nos équations.

Voici comment ça marche :

• Chaque ligne du tableau représente une équation du système.
• Les colonnes représentent les coefficients des variables et le terme constant.
• La dernière colonne contient les termes constants (les nombres à droite du signe égal dans nos équations).

Par exemple, notre système initial :

sera représenté par le tableau NumPy suivant :

systeme = np.array([
    [2,  1, -1,  8],
    [-3, -1,  2, -11],
    [-2,  1,  2, -3]
], dtype=float)

Accès aux coefficients

Pour accéder aux différents coefficients dans notre tableau NumPy, on utilise l’indexation. Voici comment ça marche :

• systeme[i, j] nous donne l’élément à la i-ème ligne et j-ème colonne.
• Les indices commencent à 0 (comme d’habitude en Python).
• Pour un système de n équations à n inconnues :
  • systeme[i, j] pour i < n et j < n donne le coefficient de la (j+1)-ème variable dans la (i+1)-ème équation.
  • systeme[i, n] donne le terme constant de la (i+1)-ème équation.

Par exemple :

• systeme[0, 0] vaut 2 (coefficient de dans la première équation)
• systeme[1, 2] vaut 2 (coefficient de dans la deuxième équation)
• systeme[2, 3] vaut (terme constant de la troisième équation).

Cette représentation nous permet de manipuler facilement notre système d’équations en utilisant les opérations de NumPy, ce qui rend notre implémentation de la méthode du pivot de Gauss à la fois simple et efficace.

Maintenant que nous avons compris comment représenter et manipuler notre système, passons au code !

import numpy as np

def echanger_equations(systeme, i, j):
    systeme[i], systeme[j] = systeme[j].copy(), systeme[i].copy()

def multiplier_equation(systeme, i, facteur):
    systeme[i] *= facteur

def ajouter_multiple_equation(systeme, i, j, facteur):
    systeme[i] += facteur * systeme[j]

def pivot_gauss(systeme):
    n, m = systeme.shape
    for i in range(min(n, m - 1)):
        # Trouver le pivot maximal
        pivot = i + np.argmax(np.abs(systeme[i:, i]))
        if systeme[pivot, i] == 0:
            raise ValueError("Le système n'a pas de solution unique!")
        
        # Échanger les équations
        if pivot != i:
            echanger_equations(systeme, i, pivot)
        
        # Éliminer les variables
        for j in range(i + 1, n):
            facteur = -systeme[j, i] / systeme[i, i]
            ajouter_multiple_equation(systeme, j, i, facteur)
    
    return systeme

# Exemple d'utilisation
systeme = np.array([
    [2, 1, -1, 8],
    [-3, -1, 2, -11],
    [-2, 1, 2, -3]
], dtype=float)

print("Système initial :")
print(systeme)

resultat = pivot_gauss(systeme)
print("\nSystème après pivot de Gauss :")
print(resultat)

Système initial :
[[  2.   1.  -1.   8.]
 [ -3.  -1.   2. -11.]
 [ -2.   1.   2.  -3.]]

Système après pivot de Gauss :
[[ -3.          -1.           2.         -11.        ]
 [  0.           1.66666667   0.66666667   4.33333333]
 [  0.           0.           0.2         -0.2       ]]

Expliquons un peu ce code :

1. echanger_equations, multiplier_equation, et ajouter_multiple_equation sont nos opérations élémentaires sur les équations. Elles utilisent l’indexation NumPy pour accéder et modifier les coefficients.
2. pivot_gauss est notre fonction principale qui applique la méthode du pivot de Gauss. Elle utilise systeme.shape pour obtenir les dimensions de notre tableau.
3. Dans pivot_gauss, on utilise np.argmax pour trouver l’indice du coefficient de plus grande valeur absolue, ce qui nous donne notre meilleur pivot pour minimiser les erreurs d’arrondi.
4. Les opérations d’élimination utilisent l’indexation pour accéder aux coefficients appropriés et les modifier.

Et voilà ! Avec ce code, vous pouvez résoudre des systèmes linéaires plus rapidement qu’il n’en faut pour dire “Carl Friedrich Gauss” !

Résolvons par exemple le système de cinq équations à cinq inconnues suivant :

systeme = np.array([
    [2, 1, -1, 2, -3, 8],
    [-3, -1, 2, -1, 4, -11],
    [-2, 1, 2, 1, -2, -3],
    [1, -1, 1, -1, 1, 2],
    [4, -2, 3, -2, 1, 3]
], dtype=float)

resultat = pivot_gauss(systeme)
print("Système après pivot de Gauss :")
print(resultat)

Système après pivot de Gauss :
[[ 4.         -2.          3.         -2.          1.          3.        ]
 [ 0.         -2.5         4.25       -2.5         4.75       -8.75      ]
 [ 0.          0.          3.5         0.         -1.5        -1.5       ]
 [ 0.          0.          0.          1.          0.68571429 -0.11428571]
 [ 0.          0.          0.          0.         -0.45714286  2.74285714]]

Il n’y a plus qu’à remonter les équations pour trouver les valeurs de , , , , et .

On trouve en arrondissant les valeurs : , , , , .

De la forge antique aux compositeurs modernes

Le premier épisode nous plonge dans les origines lointaines de cette relation, remontant jusqu’à une forge antique. Ce point de départ inattendu ouvre la voie à une exploration fascinante de l’évolution de ce lien au fil des siècles.

Les grands noms à la croisée des disciplines

La série met en lumière des personnalités emblématiques qui ont marqué à la fois le monde de la musique et celui des mathématiques :

• Johann Sebastian Bach, dont l’œuvre continue d’être étudiée pour sa dimension mathématique.
• Ernest Ansermet, chef d’orchestre renommé qui était initialement professeur de mathématiques.
• Albert Einstein, célèbre physicien, mais aussi mélomane passionné, dont la musique aurait peut-être inspiré certaines théories révolutionnaires.

Probabilités et hasard en composition

Plusieurs épisodes explorent comment les concepts mathématiques ont influencé la création musicale :

• Iannis Xenakis, compositeur d’origine grecque, a intégré les probabilités dans ses compositions.
• De Mozart à Pierre Boulez, le hasard, notion mathématique, a joué un rôle important dans la composition.

La beauté des mathématiques en musique

Le pianiste Kit Armstrong, également diplômé en mathématiques fondamentales, partage sa vision sur la beauté et l’émotion présentes tant dans les mathématiques que dans la musique.

Tableau de conversion

Voici le tableau complet des correspondances :

Bonus : la playlist Boby Lapointe

Pour aller plus loin :

• Article sur le site de France Musique accompagnant la vidéo mentionnée ici
• https://fr.vikidia.org/wiki/Syst%C3%A8me_bibi-binaire
• https://graner.name/nicolas/nombres/bibibinaire.php
• https://pi.ac3j.fr/boby-lapointe/